Question

16．已知曲线y=x²-1在x=x₀点处的切线与曲线y=1-x³在x=x₀处的切线互相平行，
（1）求x₀的值；
（2）试分别求出这两条平行的切线方程；
（3）试分别求出这两条切线之间的距离．

Answer 1

分析 （1）函数在某点的切线斜率等于函数在该点的导数值，故2个函数在x₀点处的导数值相等．
（2）求出切点坐标、切线斜率，即可得出结论；
（3）利用两条平行线间的距离公式，即可得出结论．

解答 解：（1）∵对于函数y=x²-1，∴y'=2x，
∵对于函数 y=1-x³，∴y'=-3x²，
∴由题意可得2x₀=-3x₀²，
解得x₀=0或x₀=-$\frac{2}{3}$．
（2）x₀=0，y'=0，两条平行的切线方程为y=-1，y=1；
x₀=-$\frac{2}{3}$，y'=-$\frac{4}{3}$，y₀=x₀²-1=-$\frac{5}{9}$，切线方程为y+$\frac{5}{9}$=-$\frac{4}{3}$（x+$\frac{2}{3}$），即12x+9y+13=0；
x₀=-$\frac{2}{3}$，y'=-$\frac{4}{3}$，y₀=1-x₀³=$\frac{35}{27}$，切线方程为y-$\frac{35}{27}$=-$\frac{4}{3}$（x+$\frac{2}{3}$），即12x+9y+$\frac{11}{3}$=0；
（3）两条平行的切线方程为y=-1，y=1，两条切线之间的距离为2；
两条平行的切线方程为12x+9y+13=0，12x+9y+$\frac{11}{3}$=0，两条切线之间的距离为$\frac{|13-\frac{11}{3}|}{\sqrt{144+81}}$=$\frac{28}{45}$．

点评 本题主要考查求函数在某一点的导数，利用了函数在某点的切线斜率等于函数在该点的导数值，考查切线方程，属于中档题．