Question

【题目】设函数f（x）=x2﹣ax﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）当a≥﹣1时，记f（x）的极小值为H，求H的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2﹣ax﹣lnx，a∈R，∴ ，（x＞0），

由题意知f′（1）=1，解得a=0．

（Ⅱ）设f′（x0）=0，则 ，

则 ，∴ ，

∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，

则H=f（x）极小值=f（x0）= = ，

设g（a）= （a≥﹣1），

当a≥0时，g（a）为增函数，

当﹣1≤a≤0时，g（a）= ，此时g（a）为增函数，

∴ ，

∴函数y=﹣x2+1﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，

∴f（x）极小值H的最大值为

【解析】（Ⅰ）求出 ，（x＞0），由题意知f′（1）=1，由此能求出a．（Ⅱ）设f′（x0）=0，则 ，从而 ，进而f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，则H=f（x）极小值= ，设g（a）= （a≥﹣1），利用导数性质能求出f（x）极小值H的最大值．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．