【题目】如图,在三棱柱中,平面ABC,,E是BC的中点,.
求异面直线AE与所成的角的大小;
若G为中点,求二面角的余弦值.
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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【题目】(本小题满分12分)
已知抛物线C的方程C:y2="2" p x(p>0)过点A(1,-2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
【答案】(I)抛物线C的方程为,其准线方程为(II)符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.
【解析】
试题(Ⅰ)求抛物线标准方程,一般利用待定系数法,只需一个独立条件确定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由抛物线方程确定其准线方程:,(Ⅱ)由题意设:,先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得:解得,再根据直线与抛物线C有公共点确定
试题解析:解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为
其准线方程为.
(2)假设存在符合题意的直线,
其方程为.
由得.
因为直线与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直线OA到的距离
可得,解得.
因为-1[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合题意的直线存在,其方程为.
考点:抛物线方程,直线与抛物线位置关系
【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
(2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
提醒:求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知椭圆:的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过椭圆左焦点交椭圆于,为椭圆短轴的上顶点,当直线时,求的面积.
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【题目】某校进行文科、理科数学成绩对比,某次考试后,各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计,其频率分布表如下.
(Ⅰ)根据数学成绩的频率分布表,求理科数学成绩的中位数的估计值;
(Ⅱ)请填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关:
(Ⅲ)设文理科数学成绩相互独立,记表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于120分”,估计的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】探究与发现:为什么二次函数的图象是抛物线?我们知道,平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线,这是抛物线的定义,也是其本质特征因此,只要说明二次函数的图象符合抛物线的本质特征,就解决了为什么二次函数的图象是抛物线的问题进一步讲,由抛物线与其方程之间的关系可知,如果能用适当的方式将转化为抛物线标准方程的形式,那么就可以判定二次函数的图象是抛物线了.下面我们就按照这个思路来展开.对二次函数式的右边配方,得.由函数图象平移一般地,设是坐标平面内的一个图形,将上所有点按照同一方向,移动同样的长度,得到图形,这一过程叫作图形的平移的知识可以知道,沿向量平移函数的图象如图,函数图象的形状、大小不发生任何变化,平移后图象对应的函数解析式为,我们把它改写为的形式方程,这是顶点为坐标原点,焦点为的抛物线.这样就说明了二次函数的图象是一条抛物线.
请根据以上阅读材料,回答下列问题:
由函数的图象沿向量平移,得到的图象对应的函数解析式为,求的坐标;
过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q,试探究是否为定值?并说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于两点,点,求的值.
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【题目】一个盒子里装有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同
从盒子中随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率.
从盒子中随机取出4个球,其中红球个数分别记为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=,EF=1,BC=,且M是BD的中点。
(1)求证:EM∥平面ADF;
(2)求二面角D-AF-B的余弦值;
(3)在线段ED上是否存在一点P,使得BP∥平面ADF?若存在,求出EP的长度;若不存在,请说明理由。
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【题目】为保障公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,如图,检查员抽查某市一考点,以考点正西千米的处开始为检查起点,沿着一条北偏东方向的公路,以每小时12千米的速度行驶,并用手机接通电话,问从起点开始计时,最长经过多少分钟检查员开始收不到信号(点开始),并至少持续多长时间(之间)该考点才算检查合格?
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