Question

已知双曲线C的两个焦点分别为F1(-2

2

，0)、F2(2

2

，0)，双曲线上一点P到F₁、F₂的距离的差的绝对值等于4．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx-1与双曲线C没有公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）．由于双曲线上一点P到F₁、F₂的距离的差的绝对值等于4，利用双曲线的定义可得2a=4，又c=2

2

，再利用b²=c²-a²即可得出；
（II）把直线y=kx-1与双曲线C的方程联立，利用△＜0即可得出．

解答：解：（I）设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）．
∵双曲线上一点P到F₁、F₂的距离的差的绝对值等于4，∴2a=4，解得a=2．
又c=2

2

，∴b²=c²-a²=4．
∴双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

4

=1．
（II）联立

y=kx-1 x2-y2=4

，化为（1-k²）x²+2kx-5=0．
①当1-k²=0时，即k=±1时，上式化为±2x-5=0，直线与双曲线分别有一个交点，不符合题意，应舍去；
②当1-k²≠0时，即k≠±1时，△=4k²-4×（-5）×（1-k²）＜0，解得k＞

5

或k＜-

5

，此时直线与双曲线无公共点．
综上可知：直线y=kx-1与双曲线C没有公共点时实数k的取值范围是(-∞，-

5

)∪(

5

，+∞)．

点评：本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、直线与双曲线的公共点问题转化为方程联立利用△与0的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．