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    （本小题满分13分）

    如图所示，椭圆C：的一个焦点为 F(1,0)，且过点。

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，  

    直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交

    于点M。

    (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

    (ⅱ)求△AMN面积的最大值．

    (1)解：由题设，从而，

    所以椭圆C的方程为                    ………………………………3分

    (2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)．

    设，则，.

    AF与BN的方程分别为：

    .

    设，则有

    由上得                      ………………………………6分

    由于

    ＝＝1.

    所以点M恒在椭圆C上．                                 ………………………………8分

    (ⅱ)解：设AM的方程为，代入，

    得

    设、，则有，.

    ＝＝. ………………………10分

    令，则

    ＝

    因为函数在为增函数，

    所以当即时，函数有最小值4.

    即时,有最大值3，                   

    △AMN的面积S△AMN＝·有最大值 .        …………………13分

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