Question

19．求下列各函数的值域
（1）y=$\frac{1-x}{2x+5}$
（2）y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+x+2}$．

Answer 1

分析 （1）令2x+5=t，换元可得y=-$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2t}$，由$\frac{7}{2t}$≠0可得；
（2）令s=x²+x+2=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，换元由不等式的性质可得．

解答 解：（1）令2x+5=t，则x=$\frac{1}{2}$（t-5），
∴y=$\frac{1-x}{2x+5}$=$\frac{1-\frac{1}{2}（t-5）}{t}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2t}$，
∵$\frac{7}{2t}$≠0，∴-$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2t}$≠-$\frac{1}{2}$，
故函数的值域为{x|x≠-$\frac{1}{2}$}；
（2）令s=x²+x+2=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
∴y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+x+2}$=$\frac{s-1}{s}$=1-$\frac{1}{s}$，
∵s≥$\frac{7}{4}$，∴0＜$\frac{1}{s}$≤$\frac{4}{7}$，
∴-$\frac{4}{7}$≤-$\frac{1}{s}$＜0，∴$\frac{3}{7}$≤1-$\frac{1}{s}$＜1，
∴函数的值域为[$\frac{3}{7}$，1）

点评 本题考查函数的值域，涉及换元法和不等式的性质，属基础题．