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    9个正数排成3行3列如下：
    a11  a12  a13
    a21  a22  a23
    a31  a32  a33
    其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a12=1，a23=
    3
    4
    ，a32=
    1
    4
    ．
    （Ⅰ）a11，及第一行的数所成等差数列的公差d1，每一列的数所成等比数列的公比q；
    （Ⅱ）若保持这9个正数不动，仍使每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，补做成一个n行n列的数表．
    a11  a12  a13 …a1n
    a21  a22  a23 …a2n
    a31  a32  a33 …a3n
    …
    an1  an2  an3 …ann
    记Sn=a11+a22+…+ann，求Sn；
    （Ⅲ）若Sn为（Ⅱ）中所述，求
    lim
    n→∞
    (Sn+
    n+1
    2n
    )    的值．
    分析：（Ⅰ）由题设，得
    a12=a11+d1=1
    a23=(a11+2d1)•q=
    3
    4
    a32=(a11+d1)•q2=
    1
    4
    aij＞0(i，j=1，2，3).
    ，解方程组求得a11、及公差d1、公比q的值．
    （Ⅱ）根据 akk=a1k•qk-1=[a11+（k-1）d1]•qk-1 =k•（
    1
    2
    ）k?，可得Sn =
    1
    2
    +2•（
    1
    2
    ）2+3•（
    1
    2
    ）3+…+n•（
    1
    2
    ）n，①再用错位相减法求得Sn的值．
    （Ⅲ）根据
    lim
    n→∞
    (Sn+
    n+1
    2n
    )=
    lim
    n→∞
    (2-
    n+2
    2n
    +
    n+1
    2n
    )=
    lim
    n→∞
    (2-
    1
    2n
    )    ，再利用数列极限的运算法则求得结果．
    解答：解：（Ⅰ）由题设，得
    a12=a11+d1=1
    a23=(a11+2d1)•q=
    3
    4
    a32=(a11+d1)•q2=
    1
    4
    aij＞0(i，j=1，2，3).
    ，∴
    a11=
    1
    2
    d1=
    1
    2
    q=
    1
    2
    .
    ．（5分）
    （Ⅱ）akk=a1k•qk-1=[a11+（k-1）d1]•qk-1=[
    1
    2
    +(k-1)•
    1
    2
    ]•（
    1
    2
    ）k-1=k•（
    1
    2
    ）k?，
    ∴Sn=a11+a22+a33+…+ann =
    1
    2
    +2•（
    1
    2
    ）2+3•（
    1
    2
    ）3+…+n•（
    1
    2
    ）n，①
    ∴
    1
    2
    Sn=（
    1
    2
    ）2+2•（
    1
    2
    ）3+3•（
    1
    2
    ）4+…+（n-1）•（
    1
    2
    ）n+n•（
    1
    2
    ）n+1． ②
    ①-②得，
    1
    2
    Sn=
    1
    2
    +（
    1
    2
    ）2+（
    1
    2
    ）3+…+（
    1
    2
    ）n-n•（
    1
    2
    ）n+1 =
    1
    2
    [1-(
    1
    2
    )    n    ]
    1-
    1
    2
    -n•(
    1
    2
    )n+1    ，
    ∴Sn=2-
    n+2
    2n
    ．（10分）
    （Ⅲ）
    lim
    n→∞
    (Sn+
    n+1
    2n
    )=
    lim
    n→∞
    (2-
    n+2
    2n
    +
    n+1
    2n
    )=
    lim
    n→∞
    (2-
    1
    2n
    )=2    ．（14分）
    点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质、前n项和公式的应用，数列极限的运算法则，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    9个正数排成3行3列如下：
    a11a12a13
    a21a22a23
    a31a32a33
    其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a12=1，a23=
    3
    4
    ，a32=
    1
    4

    （1）求a11，第一行数列的公差d1，及各列数列的公比q；
    （2）若保持这9个正数的位置不动，按照（1）中所求的规律排布，补做成一个
    n行n列的数表．
    a11 a12 a13…，a1n
    a21 a22 a23…，a2n
    a31 a32 a33…，a3n
    …
    an1 an2 an3…，ann
    试求a11+a22+…+ann的值．

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    科目：高中数学 来源：教材完全解读　高中数学　必修5(人教B版课标版) 人教B版课标版 题型：044

    9个正数排成3行3列如下：

    a11　　a12　　a13

    a21　　a22　　a23

    a31　　a32　　a33

    其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a12＝1，a23＝，a32＝．

    (1)求a11，第一行数列的公差d1，及各列数列的公比q；

    (2)若保持这9个正数的位置不动，按照(1)中所求的规律排布，补做成一个n行n列数表如下：

    a11　a12　a13　…　a1n

    a21　a22　a23　…　a2n

    a31　a32　a33　…　a3n

    …　…　…　…　…

    an1　an2　an3　…　ann

    试求a11＋a22＋…＋ann的值．

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    科目：高中数学 来源：2007-2008学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    9个正数排成3行3列如下：
    a11a12a13
    a21a22a23
    a31a32a33
    其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a12=1，，
    （1）求a11，第一行数列的公差d1，及各列数列的公比q；
    （2）若保持这9个正数的位置不动，按照（1）中所求的规律排布，补做成一个
    n行n列的数表．
    a11 a12 a13…，a1n
    a21 a22 a23…，a2n
    a31 a32 a33…，a3n
    …
    an1 an2 an3…，ann
    试求a11+a22+…+ann的值．

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