Question

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．
（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，
设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知

.

A

表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
P(

.

A

)=(1-0.4)3=0.216，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-0.216=0.784．
（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．
得到变量对应的事件的概率
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2．
∴η的分布列为

η	200	250	300
P	0.4	0.4	0.2

∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．