Question

【题目】已知函数f（x）=4sin2（ + ）sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．
（1）化简f（x）；
（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间 上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若函数g（x）= 在 的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2[1﹣cos（ +x）]sinx+cos2x﹣sin2x﹣1=（2+2sinx）sinx+1﹣2sin2x﹣1=2sinx
（2）解：∵f（ωx）=2sinωx，由 ≤ωx≤ ，解得﹣ + ≤x≤ + ，

∴f（ωx）的递增区间为[﹣ + ， + ]，k∈Z．∵f（ωx）在[﹣ ， ]上是增函数，

∴当k=0时，有 ，∴ ，解得 ，

∴ω的取值范围是（0， ]

（3）解：g（x）=sin2x+asinx﹣acosx﹣ a﹣1，令sinx﹣cosx=t，则sin2x=1﹣t2，

∴y=1﹣t2+at﹣ a﹣1=﹣（t﹣ ）2+ ﹣ ，∵t=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），

∵x∈[﹣ ， ]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，∴ ．

① 当 ＜﹣ ，即a＜﹣2 时，ymax=﹣（- ﹣ ）2+ ﹣ =﹣ a﹣ ﹣2．

令﹣ a﹣ ﹣2=2，解得a=﹣ （舍）．

②当﹣ ≤ ≤1，即﹣2 ≤a≤2时，ymax= ﹣ ，令 ，解得a=﹣2或a=4（舍）．

③当 ，即a＞2时，在t=1处 ，由 得a=6．

因此，a=﹣2或a=6

【解析】（1）使用降次公式和诱导公式化简4sin2（ + ），使用平方差公式和二倍角公式化简（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）；（2）求出f（ωx）的包含0的增区间U，令[﹣ ， ]U，列出不等式组解出ω；（3）求出g（x）解析式，判断g（x）的最大值，列方程解出a．