Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为

π

3

，顶点B₁在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求证：侧面ABB₁A₁⊥底面ABC；
（2）证明：B₁C⊥C₁A；
（3）求二面角B₁-BC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）通过直线与平面垂直的判定定理，利用平面与平面垂直的判定定理证明：侧面ABB₁A₁⊥底面ABC；
（2）通过证明B₁C⊥面ABC₁，然后证明B₁C⊥C₁A；
（3）作DE⊥BC于E，连B₁E，则由三垂线定理知：B₁E⊥BC，说明∠B₁ED为二面角B₁-BC-A的平面角，通过解三角形求二面角B₁-BC-A的大小．

解答：解：（1）依题意：
∵顶点B₁在底面ABC上的射影D在AB上．
∴B₁D⊥面ABC，且B₁D?面ABB₁A₁
∴面ABB₁A₁⊥面ABC
（2）连BC₁、CD
∵B₁D⊥面ABC，∴∠B1BD=

π

3

∴BD=B1Dcos

π

3

=1，即D为AB中点
∴CD⊥AB
又AB⊥B₁D，CD∩B₁D=D
∴AB⊥面B₁DC，又B₁C?面B₁DC
∴AB⊥B₁C
∵四边形B₁BCC₁是菱形∴B₁C⊥BC₁
又AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥面ABC₁
∵C₁A?面ABC₁∴B₁C⊥C₁A
（3）作DE⊥BC于E，连B₁E，则由三垂线定理知：B₁E⊥BC
∴∠B₁ED为二面角B₁-BC-A的平面角

∵ED= 3 2 ，B1D= 3 ∴tan∠B1ED=2

∴∠B₁ED=arctan2，即二面角B₁-BC-A为arctan2

点评：本题考查平面与平面垂直，直线与平面垂直的性质定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．