【题目】设正数x,y满足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,则实数a的取值范围是( )
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
【答案】C
【解析】解:∵log x+log3y=m,即log3 +log3y=log3 =m, ∴ =3m , ∵m∈[﹣1,1],∴ ∈[ ,3].
∵3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2 ,
∴3a﹣18 +(2a+3) ≥1﹣2 + ,
令 =t,则2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,
设f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,
∵不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,
∴f(t)在[ ,3]上的最大值fmax(x)≥0,
(i)当a=﹣1时,f(t)=﹣16t﹣4,
∴fmax(t)=f( )=﹣ ﹣4<0,不符合题意;
(ii)若a<﹣1,则f(t)开口向下,对称轴为t= <0,
∴f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6<0,不符合题意;
(iii)若a>﹣1,则f(t)开口向上,对称轴为t= >0,
①若0< ≤ ,即a≥11时,f(t)在[ ,3]上单调递增,
∴fmax(t)=f(3)=21a﹣31>0,符合题意;
②若 ,即﹣1<a 时,f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6≤ ﹣6<0,不符合题意;
③若 < <3,即 <a<11时,f(t)在[ ,3]上先减后增,
∴fmax(t)=f( )或fmax(t)=f(3),
∴f( )= ﹣6≥0或f(3)=21a﹣31>0,
解得a≥ 或a≥ ,又 <a<11,
∴ ≤a<11,
综上,a的取值范围是[ ,+∞).
故选C.
根据对数运算性质可得 =3m , 令 =t,则不等式可化简为2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,令f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,则问题转化为fmax(t)≥0,讨论对称轴与开口方向,根据二次函数的性质求出fmax(t)即可得出a的范围.
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【题目】已知命题p:x∈R,x2+1>m;命题q:指数函数f(x)=(3﹣m)x是增函数.若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题,则实数m的取值范围为 .
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,圆O的参数方程为(为参数).过点()且倾斜角为的直线与圆O交于A、B两点.
(1)求的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
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【题目】如图,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,B,E,F分别是AA1 , CC1的中点,且BE⊥B1F.
(1)求证:B1F⊥EC1;
(2)求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.
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【题目】如图,△ABC中,,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥底面ABC;
(2)求证:AC⊥平面EBC;
(3)求几何体ADEBC的体积V.
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【题目】某班级数学兴趣小组为了研究人的脚的大小与身高的关系,随机抽测了20位同学,得到如下数据:
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
身高x(厘米) | 192 | 164 | 172 | 177 | 176 | 159 | 171 | 166 | 182 | 166 |
脚长y(码) | 48 | 38 | 40 | 43 | 44 | 37 | 40 | 39 | 46 | 39 |
序号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
身高x(厘米) | 169 | 178 | 167 | 174 | 168 | 179 | 165 | 170 | 162 | 170 |
脚长y(码) | 43 | 41 | 40 | 43 | 40 | 44 | 38 | 42 | 39 | 41 |
(Ⅰ)请根据“序号为5的倍数”的几组数据,求出y关于x的线性回归方程
(Ⅱ)若“身高大于175厘米”为“高个”,“身高小于等于175厘米”的为“非高个”;“脚长大于42码”为“大码”,“脚长小于等于42码”的为“非大码”.请根据上表数据完成2×2列联表:并根据列联表中数据说明能有多大的可靠性认为脚的大小与身高之间有关系?
(Ⅲ)若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差:将一个标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号,求:抽到“无效序号(超过20号)”的概率.
附表及公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2=
.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,已知圆A的参数方程为 (其中θ为参数),圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)分别写出圆A与圆B的直角坐标方程;
(Ⅱ)判断两圆的位置关系,若两圆相交,求其公共弦长.
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