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【题目】设正数x,y满足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,则实数a的取值范围是(
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)

【答案】C
【解析】解:∵log x+log3y=m,即log3 +log3y=log3 =m, ∴ =3m , ∵m∈[﹣1,1],∴ ∈[ ,3].
∵3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2
∴3a﹣18 +(2a+3) ≥1﹣2 +
=t,则2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,
设f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,
∵不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,
∴f(t)在[ ,3]上的最大值fmax(x)≥0,
(i)当a=﹣1时,f(t)=﹣16t﹣4,
∴fmax(t)=f( )=﹣ ﹣4<0,不符合题意;
(ii)若a<﹣1,则f(t)开口向下,对称轴为t= <0,
∴f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6<0,不符合题意;
(iii)若a>﹣1,则f(t)开口向上,对称轴为t= >0,
①若0< ,即a≥11时,f(t)在[ ,3]上单调递增,
∴fmax(t)=f(3)=21a﹣31>0,符合题意;
②若 ,即﹣1<a 时,f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6≤ ﹣6<0,不符合题意;
③若 <3,即 <a<11时,f(t)在[ ,3]上先减后增,
∴fmax(t)=f( )或fmax(t)=f(3),
∴f( )= ﹣6≥0或f(3)=21a﹣31>0,
解得a≥ 或a≥ ,又 <a<11,
≤a<11,
综上,a的取值范围是[ ,+∞).
故选C.
根据对数运算性质可得 =3m , 令 =t,则不等式可化简为2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,令f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,则问题转化为fmax(t)≥0,讨论对称轴与开口方向,根据二次函数的性质求出fmax(t)即可得出a的范围.

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序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

身高x(厘米)

192

164

172

177

176

159

171

166

182

166

脚长y(码)

48

38

40

43

44

37

40

39

46

39

序号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

身高x(厘米)

169

178

167

174

168

179

165

170

162

170

脚长y(码)

43

41

40

43

40

44

38

42

39

41

(Ⅰ)请根据“序号为5的倍数”的几组数据,求出y关于x的线性回归方程
(Ⅱ)若“身高大于175厘米”为“高个”,“身高小于等于175厘米”的为“非高个”;“脚长大于42码”为“大码”,“脚长小于等于42码”的为“非大码”.请根据上表数据完成2×2列联表:并根据列联表中数据说明能有多大的可靠性认为脚的大小与身高之间有关系?
(Ⅲ)若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差:将一个标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号,求:抽到“无效序号(超过20号)”的概率.
附表及公式:

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2=

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