Question

袋里装有除编号不同外没有其它区别的20个球，其编号为n（1≤n≤20，n∈N^*）；对于函数f(x)=

1

3

x2-5x+

65

3

，如果满足f（n）＞n，其中n为袋里球的编号（1≤n≤20，n∈N^*），则称该球“超号球”，否则为“保号球”．
（Ⅰ）如果任意取出1球，求该球恰为“超号球”的球概率；
（Ⅱ）（理）如果同时任意取出两个球，记这两球中“超号球”的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）任取1个球，共有20个等可能的结果，由

1

3

n2-5n+

65

3

＞n，知“超号球”数为11，由此能求出任意取出1球，该球恰为“超号球”的球概率．
（Ⅱ）同时任意取出两个球，重球个数ξ可能的值有0、1、2，由题设条件分别求出P（ξ=0），P（ξ=1）和P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）任取1个球，共有20个等可能的结果，
由

1

3

n2-5n+

65

3

＞n，
即n²-18n+65＞0，
所以n＜5或n＞13．
∵1≤n≤20，n∈N^*，
∴满足条件的n有：1，2，3，4，14，15，16，17，18，19，20，
因此“超号球”数为11，
所以概率为

11

20

．
（Ⅱ）同时任意取出两个球，重球个数ξ可能的值有0、1、2，
P（ξ=0）=

C 2 9

C 2 20

=

36

190

，
P（ξ=1）=

C 1 11 • C 1 9

C 2 20

=

99

190

，
P（ξ=2）=

C 2 11

C 2 20

=

55

190

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	36 190	99 190	55 190

∴Eξ=0×

36

190

+1×

99

190

+2×

55

190

=

209

190

，
∴Eξ=

209

190

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．