Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

3

2

，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny-4=0与圆C′：x²+y²=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得a=2，再利用其离心率e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

可求得b，从而可求得椭圆C的方程；
（2）设圆心O到直线L的距离为d，可求得d=

4

4+12n2

，结合n∈（0，1]，可求得d的范围；利用基本不等式可求得S_△OAB最大值为2，继而可得n，m的值，从而可求得直线L的方程．

解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，
∴a=2，又e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

得b=1，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+y²=1．
（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d=

4

m2+(4n)2

，又有

m2

4

+n²=1，
所以d=

4

m2+(4n)2

=

4

4+12n2

，又n∈（0，1]，
∴d∈[1，2），
S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

4-d2

•d=

d2(4-d2)

≤

( d2+4-d2 2 )2

=2（当d²=4-d²即d=

2

时S_△OAB最大），
∴S_△OAB最大值为2，
d=

2

⇒

4

4+12n2

=

2

，n＞0，
∴n=

3

3

，
m²=4-4n²=

8

3

，又m＞0，
∴m=

2 6

3

．
所以直线L的方程为

2 6

3

x+

4 3

3

y-12=0，即x+

2

y-3

6

=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，突出考查基本不等式的应用，考查分析、运算的能力，属于难题．