Question

20．矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA=3，PC=4．矩形对角线AC=6，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=-$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AD}$），再利用两个向量的数量积的定义，余弦定理求得它的值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AD}$）=${\overrightarrow{PA}}^{2}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$
=9+$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）+0=9+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AC}$=9+3•6•cos（π-∠PAC）=9-18•$\frac{{PA}^{2}{+AC}^{2}{-PC}^{2}}{2•PA•AC}$
=9-18•$\frac{9+36-16}{2•3•6}$=-$\frac{11}{2}$，
故答案为：$-\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、余弦定理，属于中档题．