Question

定义在区间[0，1]上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0，且对任意的x₁，x₂∈[0，1]都有f（

x1+x2

2

）≤f（x₁）+f（x₂）；
（1）证明：对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0；
（2）求f（

3

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁=x₂=x∈[0，1]，依题意，对任意的x₁，x₂∈[0，1]都有f（

x1+x2

2

）≤f（x₁）+f（x₂），可证得f（x）≥0；
（2）利用f（0）=f（1）=0，结合已知可求得f（

1

2

）≤0，而由（1）的结果知f（

1

2

）≥0，从而可得故f（

1

2

）=0；同理可求得f（

1 2 +1

2

）=f（

3

4

）的值．

解答：（1）任取x₁=x₂=x∈[0，1]，则f（

2x

2

）≤f（x）+f（x），即f（x）≤2f（x），
∴f（x）≥0，
故对任意的x∈[0，1]都有f（x）≥0（6分）
（2）由f（0）=f（1）=0得f（

0+1

2

）≤f（0）+f（1）=0+0=0，
于是f（

1

2

）≤0，
又由（1）的结果知f（

1

2

）≥0，
故f（

1

2

）=0；
由f（

1

2

）=0与f（1）=0
得f（

1 2 +1

2

）≤f（

1

2

）+f（1）=0+0=0，
∴f（

3

4

）≤0，又由（1）知f（

3

4

）≥0，
故f（

3

4

）=0．（12分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的灵活应用，考查推理分析与运算的能力，属于中档题．