Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0，且对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数k的最小值；
（Ⅲ）求证：（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：将x=3代入直线方程得，
∵点（3，f（3））在函数f（x）=ax³+bx²的图象上，∴①
由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
联立①②，解得．
∴；
（Ⅱ）解：由f'（x）=-x²+x，∴对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立，
即-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）即可．

设h（x）=2x²+x+k-1，
（1）当△=1-8（k-1）≤0，即时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（0）
（2）当△=1-8（k-1）＞0，即时，设是方程2x²+x+k-1=0的两根且x₁＜x₂
由，可知x₁＜-，
要使对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），只需，
即k-1≥0，∴k≥1，∴
综上分析，实数k的最小值为1．
（Ⅲ）证明：因为当k=1时，有f'（x）≤kln（x+1）恒成立，即-x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立；
令，得．
∴≤
=

=．
∴原不等式得证．
分析：（Ⅰ）由点（3，f（3））在切线上，可求点的纵坐标，又在曲线上，把求得的点的坐标代入曲线方程可得一个关于a，b的方程，再根据函数在点（3，f（3））处的切线的斜率列关于a，b的第二个方程，联立后即可求得a，b的值，则函数解析式可求；
（Ⅱ）求出函数的导函数后代入f′（x）≤kln（x+1），把对任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立转化为x²-x+klnx≥0在x∈[0，+∞）恒成立，引入辅助函数g（x）=x²-x+kln（x+1），而g（0）=0，则问题转化为函数g（x）=x²-x+kln（x+1）在[0，+∞）上为增函数，求k的值．把函数g（x）求导后，通过满足导函数在[0，+∞）上恒大于等于0可求实数k的取值范围．
（Ⅲ）当k=1时，（Ⅱ）中的结论变为-x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，取后利用对数式的性质展开，作和后先放缩再裂项，整理即可得到结论．
点评：本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题，在曲线上某点处的切线的斜率就是该点的导数值，考查了导数在最大值和最小值中的应用，体现了数学转化思想和分类讨论的数学思想．特别是（Ⅲ）的证明，用到了放缩法和裂项相消，此题属难度较大的题目．