Question

（2010•上虞市二模）箱中装有10张大小．重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到10中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是

n2-9n+22

2

．（卡片正反面用颜色区分）．
（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率．
（2）如果同时取出两张卡片，记ξ为两张卡片中出现的四个数字中偶数的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，正面数字不大于反面数字即n≤

n2-9n+22

2

，解可得n的值，由古典概型的计算公式，可得答案；
（Ⅱ）首先分析可得，正反面均为奇数的有3张，正反面均为偶数的有3张，正反面为一奇一偶的有4张，即ξ可取的值为0，1，2，3，4；分别计算其概率，可得ξ的分布列，由期望的计算公式，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由不等式n≤

n2-9n+22

2

，n∈{1，2，3…}，
解可得得n=1，2，9，10，
即共有4张卡片正面数字不大于反面数字，故所求的概率为

2

5

．
（Ⅱ）n=1，5，9时，n（n-9）+22为4的倍数加2，故其反面的数字为奇数；
n=3，7时，n（n-9）+22为4的倍数，故其反面的数字为偶数；
n=2，6，10时，n（n-9）+22为4的倍数，故其反面的数字为偶数；
n=4，8时，n（n-9）+22为4的倍数加2，故其反面的数字为奇数；
所以，正反面均为奇数的有3张，正反面均为偶数的有3张，正反面为一奇一偶的有4张，
据此列下表可得：

P（ξ=0）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

；P（ξ=1）=

C 1 3 C 1 4

C 2 10

=

4

15

；P（ξ=2）=

C 1 3 C 1 3 + C 2 4

C 2 10

=

5

15

；
P（ξ=3）=

C 1 3 C 1 4

C 2 10

=

4

15

；P（ξ=4）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

；
随机变量ξ的分布列为

数学期望Eξ=

1

15

（4+10+12+4）=2．

点评：本题考查古典概型的计算与分布列、期望的计算，是典型的考试题目，平时要加强训练．