Question

3．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数$g（x）=sinx•f（\frac{x}{2}）+\sqrt{3}$，$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求g（x）的最值及其对应的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据特殊点的坐标求出A，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由条件利用三角恒等变换化简g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的最值及其对应的x值．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的部分图象，
可得T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
由五点法作图可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=π，求得ϕ=$\frac{π}{6}$．
再根据Asin$\frac{π}{6}$=1，求得A=2，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）$g（x）=sinx•2sin（x+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$=$sinx•2（sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$=$sinx•（\sqrt{3}sinx+cosx）+\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}{sin^2}x+sinxcosx+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$=$sin（2x-\frac{π}{3}）+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，∴$g（x）∈[\sqrt{3}，1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}]$．
∴当x=0时$g{（x）_{min}}=\sqrt{3}$；当$x=\frac{5π}{12}$时$g{（x）_{max}}=1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．