Question

一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10公里时，燃料费是每小时5元，而其它和速度无关的费用是每小时80元．
（1）将1小时的燃料费P元表示为速度v（公里/小时）的函数；
（2）已知甲，乙两地相距100公里，问该轮船以多大的速度行驶时，从甲地行驶到乙地所需的费用总和为最小？

Answer 1

分析：（1）先设出函数关系式，代入速度与每小时燃料费的关系值求出比例系数即可；
（2）根据题设要求设出行驶总费用与速度之间的函数关系式，再利用函数的导数去求函数的最小值即可．

解答：解：（1）1小时的燃料费P元与速度v（公里/小时）的函数关系可以表示为p=kv³．
又∵5=k•10³，∴k=0.005，∴p=0.005v³．（v＞0）（3分）
（2）设从甲地行驶到乙地所需的费用总和为y元，
则y=

100

v

(0.005v3+80)=0.5v2+

8000

v

．（v＞0）（7分）
∴y′=v-

8000

v2

，由y′=0，得v=20（公里/小时）．（10分）
又∵当v＜20时，y′＜0；当v＞20时，y′＞0．
∴当速度为20公里/小时时，航行所需的费用总和为最小，最小值为600元．（12分）

点评：本题是实际应用题，考查学生建立函数模型的能力，以及利用函数的导数研究给定区间上函数的最值问题，是高考的常考知识点．