Question

将如图1的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．
（I）证明：直线BE∥平面ADF；
（II）求面FBE与面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）取DF的中点为G，连接AG，EG，故GE

∥ .

.

CD

∥ .

.

AB，所以四边形ABEG为平行四边形，由此能够证明BE∥平面ADF．
（II）延长FE与DC交于H，连接BH，则BH是平面FBE与平面ABCD的交线，由∠FDC=

π

2

，且F-DC-A为直二面角，知FD⊥平面ABCD，故FD⊥BH，又CE

∥ .

.

1

2

FD，所以在Rt△BCH中，∠CBH=

π

4

，由此能够求出平面FBE与平面ABCD所成角的正切值．

解答：（I）证明：取DF的中点为G，连接AG，EG，
∴GE

∥ .

.

CD

∥ .

.

AB，
∴四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG，
∵AG?平面ADF，BE?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
（II）解：延长FE与DC交于H，连接BH，
则BH是平面FBE与平面ABCD的交线，
∵∠FDC=

π

2

，且F-DC-A为直二面角，
∴FD⊥平面ABCD，
∴FD⊥BH，
又CE

∥ .

.

1

2

FD，
∴DC=CH，
∴BC=CH，
∴在Rt△BCH中，∠CBH=

π

4

，
∴BH⊥BD，
∴BH⊥平面BDF．
∴∠DBF就是二面角F-BH-A的平面角，
在Rt△BDF中，∠BDF=

π

2

，DF=2，BD=

2

，
∴tan∠DBF=

DF

BD

=

2

2

=

2

，
∴平面FBE与平面ABCD所成角的正切值为

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．