Question

如图，在直三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，AC＝4，CB＝2，AA₁＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．

(1)证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
(2)证明：C₁F∥平面ABE；
(3)设P是BE的中点，求三棱锥P ­B₁C₁F的体积．

Answer 1

(1) (2)见解析   (3)

解析(1)证明　在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，由余弦定理得：
∴AB＝2，∴AB²＋BC²＝AC²，
∴AB⊥BC，
由已知AB⊥BB₁，又BB₁∩BC＝B，∴AB⊥面BB₁C₁C，
又∵AB?面ABE，∴平面ABE⊥平面BB₁C₁C.
(2)证明　取AC的中点M，连接C₁M，FM
在△ABC，FM∥AB，而FM?平面ABE，AB?平面ABE，
∴直线FM∥平面ABE
在矩形ACC₁A₁中，E，M都是中点，∴C₁E綉AM，四边形AMC₁B是平面四边形，∴C₁M∥AE
而C₁M?平面ABE，AE?平面ABE，∴直线C₁M∥ABE
又∵C₁M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC₁，而CF₁?平面FMC₁，
故C₁F∥平面AEB.
(3)解　取B₁C₁的中点H，连接EH，则EH∥A₁B₁，所以EH∥AB且EH＝AB＝，
由(1)得AB⊥面BB₁C₁C，∴EH⊥面BB₁C₁C，
∵P是BE的中点，
∴VP­B₁C₁F＝VE­B₁C₁F＝×S△B₁C₁F·EH＝