Question

4．已知函数f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明f（x）为定义域上的单调增函数；
（2）解关于x的不等式f（x²-2）+f（-x）＜0．

Answer 1

分析 （1）先利用对数的真数大于零，求得函数的定义域关于原点对称，再根据f（-x）+f（x）=0，可得函数为奇函数．
（2）利用函数的单调性的定义证得函数f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$为定义域上的单调增函数．
（3）由题意可得原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{-2{＜x}^{2}-2＜2}\\{-2＜-x＜2}\\{{x}^{2}-2＜x}\end{array}\right.$，由此求得x的范围．

解答 解：（1）要使函数f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$有意义，$\frac{2+x}{2-x}$＞0，得-2＜x＜2，故函数的定义域为（-2，2），关于原点对称．
又f（-x）+f（x）=log₂$\frac{2-x}{2+x}$+log₂$\frac{2+x}{2-x}$=log₂ （$\frac{2-x}{2+x}$．$\frac{2+x}{2-x}$）=log₂1=0，
故f（x）为奇函数．
（2）设-2＜x₁＜x₂＜2，
∵f（x₂）-f（x₁）=log₂ $\frac{2{+x}_{2}}{2{-x}_{2}}$-log₂$\frac{2{+x}_{1}}{2{-x}_{1}}$=log₂ $\frac{（2{+x}_{2}）（2{-x}_{1}）}{（2{+x}_{1}）（2{-x}_{2}）}$=log₂ $\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{（x}_{2}{-x}_{1}）}$，
由题设可得x₂-x₁＞0，
∴$\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{（x}_{2}{-x}_{1}）}$＞1，∴log₂ $\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{（x}_{2}{-x}_{1}）}$＞0，

∴函数f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$为定义域上的单调增函数．
（3）因为函数f（x）的定义域（-2，2），
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-2{＜x}^{2}-2＜2}\\{-2＜-x＜2}\end{array}\right.$，
又根据函数为奇函数，所以不等式f（x²-2）+f（-x）＜0，即f（x²-2）＜-f（-x）=f（x）．
再根据f（x）时定义域内的增函数，可得x²-2＜x，
所以原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{-2{＜x}^{2}-2＜2}\\{-2＜-x＜2}\\{{x}^{2}-2＜x}\end{array}\right.$，求得-1＜x＜0，或 0＜x＜2，
即原不等式的解集为{x|-1＜x＜0，或 0＜x＜2}．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，解一元二次不等式，属于中档题．