分析 (1)先利用对数的真数大于零,求得函数的定义域关于原点对称,再根据f(-x)+f(x)=0,可得函数为奇函数.
(2)利用函数的单调性的定义证得函数f(x)=log2$\frac{2+x}{2-x}$为定义域上的单调增函数.
(3)由题意可得原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{-2{<x}^{2}-2<2}\\{-2<-x<2}\\{{x}^{2}-2<x}\end{array}\right.$,由此求得x的范围.
解答 解:(1)要使函数f(x)=log2$\frac{2+x}{2-x}$有意义,$\frac{2+x}{2-x}$>0,得-2<x<2,故函数的定义域为(-2,2),关于原点对称.
又f(-x)+f(x)=log2$\frac{2-x}{2+x}$+log2$\frac{2+x}{2-x}$=log2 ($\frac{2-x}{2+x}$.$\frac{2+x}{2-x}$)=log21=0,
故f(x)为奇函数.
(2)设-2<x1<x2<2,
∵f(x2)-f(x1)=log2 $\frac{2{+x}_{2}}{2{-x}_{2}}$-log2$\frac{2{+x}_{1}}{2{-x}_{1}}$=log2 $\frac{(2{+x}_{2})(2{-x}_{1})}{(2{+x}_{1})(2{-x}_{2})}$=log2 $\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{(x}_{2}{-x}_{1})}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{(x}_{2}{-x}_{1})}$,
由题设可得x2-x1>0,
∴$\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{(x}_{2}{-x}_{1})}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{(x}_{2}{-x}_{1})}$>1,∴log2 $\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{(x}_{2}{-x}_{1})}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{(x}_{2}{-x}_{1})}$>0,
∴函数f(x)=log2$\frac{2+x}{2-x}$为定义域上的单调增函数.
(3)因为函数f(x)的定义域(-2,2),
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-2{<x}^{2}-2<2}\\{-2<-x<2}\end{array}\right.$,
又根据函数为奇函数,所以不等式f(x2-2)+f(-x)<0,即f(x2-2)<-f(-x)=f(x).
再根据f(x)时定义域内的增函数,可得x2-2<x,
所以原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{-2{<x}^{2}-2<2}\\{-2<-x<2}\\{{x}^{2}-2<x}\end{array}\right.$,求得-1<x<0,或 0<x<2,
即原不等式的解集为{x|-1<x<0,或 0<x<2}.
点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用,解一元二次不等式,属于中档题.
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A. | (-2,2) | B. | (-4,4) | C. | (0,2)∪(4,+∞) | D. | (-2,0)∪(2,+∞) |
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