分析 (1)由对称轴及具有最小值可使用待定系数法求出;
(2)根据已知条件求出递推公式,证明$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$为定值;
(3)写出bn的通项公式,结合二次函数性质求解.
解答 解:(1)∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为x=1.
又f(x)的最小值为0,故可设二次函数的顶点式为f(x)=a(x-1)2(a>0).
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=4(x-1)}\\{y=a{{(x-1)}^2}}\end{array}}\right.$得两函数的交点为 $(1,0),\;\;(\frac{4}{a}+1,\frac{16}{a})$,
∴$\sqrt{{{(\frac{4}{a})}^2}+{{(\frac{16}{a})}^2}}=4\sqrt{17}$,解得:a=1.
∴f(x)=(x-1)2.
(2)由(1)知:$f(a_n^{\;})={({a_n}-1)^2},g({a_n})=4({a_n}-1)$,
∵(an+1-an)•g(an)+f(an)=0
∴$({a_{n+1}}-{a_n})•4({a_n}-1)+{({a_n}-1)^2}=0$,即(an-1)(4an+1-3an-1)=0.
由a1=2可知an≠1,∴4an+1-3an-1=0,${a_{n+1}}-1=\frac{3}{4}({a_n}-1)$,
∴{an-1}是首项为a1-1=1,公比为$\frac{3}{4}$的等比数列.
(3)由(2)知${a_n}-1={(\frac{3}{4})^{n-1}},即{a_n}={(\frac{3}{4})^{n-1}}+1$,${b_n}=3f({a_n})-g({a_{n+1}})=3({a_n}-1{)^2}-4({a_{n+1}}-1)=3{[{(\frac{3}{4})^{n-1}}]^2}-3{(\frac{3}{4})^{n-1}}$=$3{[{(\frac{3}{4})^{n-1}}-\frac{1}{2}]^2}-\frac{3}{4}$.
因为n∈N*,所以${(\frac{3}{4})^{n-1}}的值分别为1,\frac{3}{4},\frac{9}{16},\frac{27}{64},…经过比较\frac{9}{16}距离\frac{1}{2}最近$,
所以当n=3时,bn有最小值$-\frac{189}{256}$.
点评 本题考查了函数与数列的关系,等比数列的判定,函数的最值.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | $\frac{3}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,2) | B. | (1,2) | C. | [0,1) | D. | (0,1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {1,2,3,4} | B. | {0,5} | C. | {5} | D. | {0} |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,1]∪(1,2) | B. | (-∞,1]∪(2,+∞) | C. | (0,2] | D. | [1,2] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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