Question

已知Z1=x2+i

x2+1

，Z₂=（x²+a）i对于任意实数x，都有|Z₁|＞|Z₂|恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意求出两个向量的模，利用它们的关系列出不等式，再由恒等关系求出a的范围．

解答：解：由题意得，|Z1|=

x4+x2+1

，|Z2|=

x4+a2

，|Z1|=

x4+x2+1

，|Z2|=

x4+a2+2ax2

∵|Z₁|＞|Z₂|，∴|Z₁|²＞|Z₂|²，
即x⁴+x²+1＞x⁴+a²+2ax²，（1-2a）x²+（1-a²）＞0，对任意x∈R成立，当a=

1

2

时，不等式成立，
当1-2a≠0时，

1-2a＞0 -4(1-2a)(1-a2)＜0

解得-1＜a＜

1

2

，
∴实数a的取值范围是（-1，

1

2

]

点评：本题考查了复数的模的公式，即根据条件求出向量的模，利用条件和恒成立问题求出．