Question

12．已知函数f（x）=x²+ax-lnx在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． $（-∞，-\frac{7}{2}]$
• C． $[-\frac{7}{2}，-1）$
• D． $[-\frac{7}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 根据题意，已知f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，即f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$≤0在区间[2，+∞）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解．

解答 解：f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$，
∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴当x∈[1，2]时，f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$≤0恒成立，即a≤-2x+$\frac{1}{x}$恒成立．
由于y=-2x+$\frac{1}{x}$在[1，2]上为减函数，
则y_min=-$\frac{7}{2}$，则a≤y_min=-$\frac{7}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，解题的关键将题目转化成f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立进行求解，同时考查了参数分离法，属于中档题．