Question

19．已知曲线C₁和C₂的极坐标方程分别为ρ=6$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）和ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，长度为1的线段AB的两端点在曲线C₂上，点P在曲线C₁上，求△PAB面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由已知求出曲线C₁直角坐标方程为（x-3）²+（y-3）²=18，曲线C₂直角坐标方程为x-y-8=0，求出圆C₁的圆心（3，3）到直线的距离，从而求出圆上的点P到直线的距离的最大值和最小值，由此能求出△PAB面积的最大值和最小值．

解答 解：∵曲线C₁极坐标方程为ρ=6$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=6cosθ+6sinθ，
∴ρ²=6ρcosθ+6ρsinθ，
∴曲线C₁直角坐标方程为x²+y²=6x+6y，即（x-3）²+（y-3）²=18，
曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，即ρcosθ-ρsinθ=8，
∴曲线C₂直角坐标方程为x-y-8=0，
∵圆C₁的圆心（3，3）到直线的距离d=$\frac{|3-3-8|}{\sqrt{1+1}}$=4$\sqrt{2}$＞3$\sqrt{2}$=r，
∴直线与圆相离，
∴圆上的点P到直线的距离的最大值为d+r=7$\sqrt{2}$，最小值为d-r=$\sqrt{2}$．
∴△PAB面积的最大值为$\frac{1}{2}×1×7\sqrt{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，最小值为$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角形面积的最大值和最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用，注意点到直线距离公式的合理运用．