【题目】已知函数f(x)是定义在区间[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若对于任意的m、n∈[﹣1,1]有 .
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤﹣2at+2对于任意的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】
(1)函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数:
证明:由题意可知,对于任意的m、n∈[﹣1,1]有 ,
可设x1=m,x2=﹣n,则 ,即 ,
当x1>x2时,f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数;
当x1<x2时,f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数;
综上:函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数
(2)由(1)知函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,
又由 ,
得 ,解得 ,
∴不等式 的解集为
(3)∵函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,且f(1)=1,
要使得对于任意的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]都有f(x)≤﹣2at+2恒成立,
只需对任意的a∈[﹣1,1]时﹣2at+2≥1,即﹣2at+1≥0恒成立,
令y=﹣2at+1,此时y可以看做a的一次函数,且在a∈[﹣1,1]时y≥0恒成立,
因此只需要 ,解得 ,
∴实数t的取值范围为:
【解析】(1)设x1=m,x2=﹣n,由已知可得 ,分x1>x2 , 及x1<x2两种情况可知f(x1)与f(x2)的大小,借助单调性的定义可得结论;(2)利用函数单调性可得去掉不等式中的符号“f”,转化为具体不等式,再考虑到函数定义域可得不等式组,解出即可;(3)要使得对于任意的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]都有f(x)≤﹣2at+2恒成立,只需对任意的a∈[﹣1,1]时﹣2at+2≥f(x)max , 整理后化为关于a的一次函数可得不等式组;
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识,掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC的中点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.
(Ⅰ)求三棱锥P﹣ABD的体积.
(Ⅱ)在∠ACB的平分线所在直线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.
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【题目】已知椭圆,圆的圆心在椭圆上,点到椭圆的右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点, 直线交圆于两点, 且为的中点, 求的面积的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= + 的两个极值点分别为x1 , x2 , 且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数y=loga(x+4)(a>1)的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3]
B.(1,3)
C.(3,+∞)
D.[3,+∞)
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)其频率分布直方图如下:
(1) 记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计的概率;
(2)填写下面联表,并根据列联表判断是否有%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量 | 箱产量 | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1},B={x|x<﹣2或x>5}
(1)若AB,求实数m的取值范围的集合;
(2)若A∩B=,求实数m的取值范围的集合.
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【题目】已知集合A=[2,log2t],集合B={x|y= },
(1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为b﹣a,若A的区间“长度”为3,试求实数t的值.
(2)若AB,试求实数t的取值范围.
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