【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值;
(3)若方程,有两个不相等的实数根,比较与0的大小.
【答案】(1) 单调增区间为,单调减区间为. (2) ,(3)详见解析
【解析】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时,,单调增区间为.时,有增有减;(2) 函数有两个零点,所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,(3)根据,所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小.
试题解析:(1)解: .
当时,,函数在上单调递增,函数的单调增区间为.
当时,由,得;由,得.
所以函数的单调增区间为,单调减区间为.
(2)解:由(1)得,若函数有两个零点
则,且的最小值,即.
因为,所以.令,显然在上为增函数,
且,,所以存在,.
当时,;当时,.所以满足条件的最小正整数
(3)证明:因为是方程的两个不等实根,由(1)知.
不妨设,则,.
两式相减得,
即.
所以.因为,
当时,, 当x∈时,,
故只要证即可,即证明,
即证明,
即证明.设.
令,则.
因为,所以,当且仅当t=1时,,所以在上是增函数.
又,所以当时,总成立.所以原题得证
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【题目】甲、乙两人玩掷骰子游戏,甲掷出的点数记为,乙掷出的点数记为,
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时甲胜;方程有
两个相等的实数根时为“和”;方程没有实数根时乙胜.
(1)列出甲、乙两人“和”的各种情形;
(2)求甲胜的概率.
必要时可使用此表格
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【题目】已知向量m=(cosx,-1),n=,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=1,c=,且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面积.
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【题目】下面给出四种说法:
①用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好;
②命题P:“x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定是¬P:“x∈R,x2﹣x﹣1≤0”;
③设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(x>1)=p则P(﹣1<X<0)= ﹣p
④回归直线一定过样本点的中心( ).
其中正确的说法有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】(2016~2017·郑州高一检测)过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是 ( )
A. x-2y+3=0 B. 2x+y-4=0
C. x-y+1=0 D. x+y-3=0
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【题目】在公差不为零的等差数列{an}中,已知a1=1,且a1,a2,a5依次成等比数列.数列{bn}满足bn+1=2bn-1,且b1=3.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Sn,试比较Sn与1-的大小.
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【题目】某市为了制定合理的节电方案,供电局对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:度),将数据按照,分成9组,制成了如图所示的频率直方图.
(1)求直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数;
(2)从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户,用表示月均用电量不低于800度的用户数,求随机变量的分布列及数学期望.
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