Question

已知点F₁（0，-1）和抛物线C₁：x²=2py的焦点F关于x轴对称，点M是以点F为圆心，4为半径的⊙F上任意一点，线段MF₁的垂直平分线与线段MF交于点P，设点P的轨迹为曲线C₂，
（1）求抛物线C₁和曲线C₂的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l分别与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，若存在，求出所有这样的直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线C₁：x²=2py的焦点F的坐标为F（0，1），则

p

2

=1，所以抛物线C₁的方程为x²=4y，由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，而线段MF₁的垂直平分线与线段MF交于点P，则|MP|=|PF₁|因此，|PF₁|+|PF|=4，且4＞|FF₁|=2，由此能求出曲线C₂的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，则直线x=

3

，x=-

3

与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，若直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m，若l与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，由此能求出存在四条直线x=±

3

，y=±2x-4与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点．

解答：解：（1）依题意，抛物线C₁：x²=2py的焦点F的坐标为F（0，1），
则

p

2

=1，
所以抛物线C₁的方程为x²=4y，
由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，
而线段MF₁的垂直平分线与线段MF交于点P，
则|MP|=|PF₁|，
因此，|PF₁|+|PF|=4，
且4＞|FF₁|=2，则点P的轨迹C₂为以F₁、F为焦点的椭圆，
设C₂的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1  (a＞b＞0)，
则2a=4，且a²-b²=1，解得a²=4，b²=3，
所求曲线C₂的方程为

y2

4

+

x2

3

=1
（2）若直线l的斜率不存在，
则直线x=

3

，x=-

3

与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，
若直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m，
若l与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，
则

y=kx+m x2=4y

及

y=kx+m y2 4 + x2 3 =1

均只有一组解，
由

y=kx+m x2=4y

消去y得 x²-4kx-4m=0，
则△=16k²+16m=0①
由

y=kx+m y2 4 + x2 3 =1

消去y得 （4+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
则△=36k²m²-4（3m²-12）（3k²+4）=0，
即m²-3k²-4=0②
由①②得m=-4，k=±2，
即存在直线y=±2x-4与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，
综上：存在四条直线x=±

3

，y=±2x-4与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线、椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．