Question

已知函数f（x）=x（x-9）²，x∈[0，+∞）存在区间[a，b]⊆[0，+∞），使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，则最小的k值为（　　）

A．36

B．9

C．4

D．1

Answer 1

分析：先利用导数研究函数的单调性和极值，然后由函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]可判断出k＞0，结合函数的单调性讨论a、b，建立方程，即可得到实数k的取值范围，从而求出最小值．

解答：解：∵函数f（x）=x（x-9）²=x³-18x²+81x
∴f′（x）=3x²-36x+81=3（x-9）（x-3），x∈[0，+∞），
∴当x∈[0，3]时f′（x）≥0，则函数在[0，3]上单调递增
当x∈[3，9]时f′（x）＜0，则函数在[3，9]上单调递减
当x∈（9，+∞）时f′（x）＞0，则函数在（9，+∞）上单调递增
∴当x=3时，函数取极大值108，当x=9时，函数取极小值0．
（1）当a，b∈[0，3]时，f（x）在[0，3]上为增函数，
∴

f(a)=a(a-9)2=ka f(b)=b(b-9)2=kb

即在[0，3]上存在两个不等的实数使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在[0，3]上单调递减，故不存在满足条件的k值；
（2）当a，b∈[3，9]时，f（x）在[3，9]上为减函数，
∴

f(a)=a(a-9)2=kb f(b)=b(b-9)2=ka

即a=b，此时实数a，b的值不存在．
（3）当a，b∈（9，+∞）时，f（x）在（9，+∞）上为增函数，
∴

f(a)=a(a-9)2=ka f(b)=b(b-9)2=kb

即在（9，+∞）上存在两个不等的实数使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在（9，+∞）上单调递增，故不存在满足条件的k值；
（4）当a∈[0，3），b∈[3，9]时，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
∴k=

108

b

∈[12，36]
（5）当a∈（3，9），b∈[9，+∞）时，9∈[a，b]，f（9）=0=ka
根据题意可知k＞0
∴a=0，不可能成立
（6）令f（x）=x（x-9）²=108解得x=3或12
令f（x）=x（x-9）²=0解得x=0或9
①当a∈[0，3），b∈[9，12）时，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
根据题意可知k＞0
∴a=0，k=

108

b

∈[9，12]
②当a∈[0，3），b∈[12，+∞）时，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，
根据题意可知k＞0
∴a=0，
且f（b）=b（b-9）²=kb
k=（b-9）²≥9
综上所述：k∈[9，+∞）
故最小的k值为9
故选B．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的单调性和极值，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，同时考查了分类讨论的思想，方程的思想，考察了推理判断能力，是一道综合性较强的题，思维难度大，解题时要严谨，属于难题．