Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点A(

2

，0)，且离心率为

2

，设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点P为双曲线上一点
（1）求双曲线的方程；
（2）若△PF₁F₂是直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点A(

2

，0)，且离心率为

2

，求出几何量，可得双曲线的方程；
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，求出mn，利用面积公式，确定P的纵坐标，从而可求P的坐标．

解答：解：（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点A(

2

，0)，且离心率为

2

，
∴a=

2

，

c

a

=

2

∴c=2，∴b²=c²-a²=2，
∴双曲线的方程为

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则

|m-n|=2 2 m2+n2=16

∴mn=4
∴

1

2

mn=2
设P（x，y），则

1

2

•4•|y|=2，∴|y|=1，∴y=±1
y=1时，x=±

3

；y=-1时，x=±

3

，
∴P（

3

，±1）或P（-

3

，±1）．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，考查学生的计数能力，属于中档题．