Question

已知直线l：y=2x与抛物线C：y=

1

4

x²交于A（x_A，y_A）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（x_A，y_B）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线x²=2py的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线C：y=

1

4

x²的方程化为x²=4y，即可得到2p=4，进而得到焦点．
（2）分别联立方程组

y=2x y= 1 4 x2

，

y=- 1 2 x y= 1 4 x2

，即可解得点A，B坐标．再利用点斜式即可得出．
（3）结论：过抛物线x²=2py的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点（0，2p）．证明时类比（2）可得，设过抛物线x²=2py的顶点的一条直线为y=kx （k≠0），则另一条为y=-

1

k

x，分别联立方程组

y=kx x2=kx

，联立方程组

y=- 1 k x x2=2py

，解得点A，B坐标．再利用点斜式即可得出．

解答：解：（1）抛物线C：y=

1

4

x²的方程化为x²=4y，
∴2p=4，p=2．
∴抛物线C的焦点坐标为（0，1）．
（2）联立方程组

y=2x y= 1 4 x2

，解得点A坐标为（8，16）．
联立方程组

y=- 1 2 x y= 1 4 x2

，解得点B坐标为（-2，1）．
∴直线AB的方程为y-1=

16-1

8-(-2)

(x+2)，即3x-2y+8=0．
令x=0，解得y=4．
∴点M的坐标为（0，4）．
（3）结论：过抛物线x²=2py的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点（0，2p）．
证明如下：
设过抛物线x²=2py的顶点的一条直线为y=kx （k≠0），则另一条为y=-

1

k

x
联立方程组

y=kx x2=kx

，解得点A坐标为（2pk，2pk²）．
联立方程组

y=- 1 k x x2=2py

，解得点B坐标为(-

2p

k

，

2p

k2

)．
∴直线AB的方程为y-

2p

k2

=

2pk2- 2p k2

2pk-(- 2p k )

(x+

2p

k

)，
令x=0，解得y=2p．
∴直线AB恒过定点（0，2p）．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、过顶点的两条相互垂直的直线分别与抛物线相交的交点的直线过定点问题，考查了类比推理能力和计算能力，属于难题．