Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点F是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，M（

2

3

，m）是C₁与C₂在第一象限内的交点，且|MF|=

5

3

．
（1）求C₁与C₂的方程；
（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．
  （i）求

FM

•

FN

的取值范围；
  （ii）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先由抛物线定义及|MF|=

5

3

，求出p的值，将点M的坐标代入抛物线方程，进而求其坐标，再由椭圆焦点为F（1，0），又过M点，用待定系数法求出椭圆方程；
（2）（i）求出F的坐标，分直线l的斜率存在和不存在分析，当斜率不存在时直接求出M，N的坐标求解，当直线的斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，利用根与系数关系得到M，N的横坐标的和与积，代入数量积公式整理，化为直线斜率的函数，由k的范围得答案；
（ii）设出MN的中点Q，由（i）得到Q的坐标，得到直线OT的方程，求出T的坐标，进一步得到TF的斜率，由两直线的斜率之积等于-1得答案．

解答： 解：（1）∵点M（

2

3

，m）在抛物线上，且|MF|=

5

3

，抛物线准线为x=--

p

2

，∴

2

3

+

p

2

=

5

3

，解得：p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
点M（

2

3

，m）代入y²=4x得m=

2 6

3

，∴M（

2

3

，

2 6

3

），由它在椭圆上及椭圆右焦点为F（1，0）
得

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

，解得，a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）（ⅰ）由（1）得F（1，0），
①若直线l斜率不存在，则l：x=1，此时M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），

FM

•

FN

=-

9

4

；
②若直线l斜率存在，设l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
∴

FM

•

FN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=-

9

4- 1 1+k2

，
∵k²≥0，∴0＜

1

1+k2

≤1，
∴3≤4-

1

1+k2

＜4，
∴-3≤

FM

•

FN

＜-

9

4

．
综上，

FM

•

FN

的取值范围为[-3，-

9

4

）；
（ⅱ）线段MN的中点为Q，则由（ⅰ）可得，x_Q=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，
y_Q=k（x_Q-1）=

-3k

4k2+3

，
∴直线OT的斜率k′=

yQ

xQ

=-

3

4k

，
∴直线OT的方程为：y=-

3

4k

x，
从而T（4，-

3

k

），此时TF的斜率k_TF=

- 3 k -0

4-1

=-

1

k

，
∴k_TFk_MN=-

1

k

•k=-1，
∴TF⊥MN．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是压轴题．