Question

如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作。第一次操作：分别连接这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连接剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……，如此下去，记第次操作后剩余图形的总面积为

（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和；

（3）浴使剩余图形的总面积不足原三角形面积的，问至少经过多少次操作？  

Answer 1

解析：（1）；   …………4分

（2）设第n次操作挖去个三角形，则是以1为首项，3为公比的等比数列，即，所以所有三角形上所贴标签上的数字的和

则，两式相减，得：

，故

（3）因为是以为首项，以为公比的等比数列，所以…………8分

由，得

因为所以当时，

所以至少经过5次操作，可以使剩余图形的总面积不足原三角形面积的…………12分