Question

14．△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a，b，c成等差数列．
（1）求B的取值范围；
（2）若b=2，求2acos²$\frac{C}{2}$+2ccos²$\frac{A}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，代入化简再利用基本不等式的得出．
（2）利用倍角公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{3×2ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），
∴B∈$（0，\frac{π}{3}]$．
（2）∵b=2，∴a+c=4．
∴2acos²$\frac{C}{2}$+2ccos²$\frac{A}{2}$
=a（cosC+1）+c（cosA+1）
=a+c+acosC+ccosA
=a+c+a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$c×\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=a+c+b=6．

点评 本题考查了等差数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．