Question

10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）=1-3^x，若在区间[-6，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+3）=0（0＜a＜1）恰有5个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{6}}}{6}，1）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{1}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由题意知函数f（x）与函数y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的图象有5个不同的交点；从而作图求解即可．

解答 解：∵方程f（x）-log_a（x+3）=0（0＜a＜1）恰有5个不同的实数根，
∴函数f（x）与函数y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的图象有5个不同的交点；
作函数f（x）与函数y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的图象如下，

结合图象可知，
函数y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的图象为曲线m时，
-2=log_a（1+3），故a=$\frac{1}{2}$；
函数y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的图象为曲线l时，
-2=log_a（3+3），故a=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
结合选项可得，a的取值范围是（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{1}{2}$）；
故选：A．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及学生的作图与应用的能力，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．