【题目】已知F1 , F2分别是椭圆C: (a>b>0)的两个焦点,P(1,
)是椭圆上一点,且
|PF1|,|F1F2|,
|PF2|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F2 , 且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得
=﹣
恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵ |PF1|,|F1F2|,
|PF2|成等差数列,
∴ |PF1|+
|PF2|=2|F1F2|,即2
a=4c,∴a=
c.
∴ ,解得
.
∴椭圆方程为
(2)解:假设在x轴上存在点Q(m,0),使得 恒成立.
①当直线l的斜率为0时,A(﹣ ,0),B(
,0).
∴ =(﹣
﹣m,0),
=(
﹣m,0).
∴ =m2﹣2=﹣
,解得
或m=﹣
.
②若直线l斜率不为0,设直线AB的方程为x=ty+1.
联立方程组 ,消元得:(t2+2)y2+2ty﹣1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
.
∴x1+x2=t(y1+y2)+2= ,
x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1= .
∵ =(x1﹣m,y1),
=(x2﹣m,y2).
∴ =(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=x1x2﹣m(x1+x2)+m2+y1y2
= ﹣
+m2﹣
=
=﹣
.
∴ ,解得m=
.
综上,Q点坐标为( ,0)
【解析】
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【题目】各项均为正数的数列{bn}的前n项和为Sn , 且对任意正整数n,都有2Sn=bn(bn+1).
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)如果等比数列{an}共有2015项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ak与ak+1之间插入k个(﹣1)kbk(k∈N*)后,得到一个新的数列{cn}.求数列{cn}中所有项的和;
(3)如果存在n∈N* , 使不等式 成立,求实数λ的范围.
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【题目】已知点C为圆(x+1)2+y2=8的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足
=0,
=2
.
(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;
(2)若斜率为k的直线 l与圆x2+y2=1相切,直线 l与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且 ≤
≤
时,求k的取值范围.
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【题目】设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0 , 则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在次不动点.若函数f(x)=ax2﹣3x﹣a+ 在区间[1,4]上存在次不动点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0)
B.(0, )
C.[ ,+∞)
D.(﹣∞, ]
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【题目】某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,结果统计如下:
API | [0,100] | (100,200] | (200,300] | >300 |
空气质量 | 优良 | 轻污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天数 | 17 | 45 | 18 | 20 |
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元),空气质量指数API为.当
时,企业没有造成经济损失;当
对企业造成经济损失成直线模型(当
时造成的经济损失为
,当
时,造成的经济损失
);当
时造成的经济损失为2000元;
(1)试写出的表达式;
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有12天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
非重度污染 | 重度污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
P(k2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示
年份2010+x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口数y(十万) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2) 据此估计2015年该城市人口总数。
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【题目】某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段.已知跳水板长为
,跳水板距水面
的高
为
.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点
处水平距
时达到距水面最大高度
,规定:以
为横轴,
为纵轴建立直角坐标系.
(1)当时,求跳水曲线所在的抛物线方程;
(2)若跳水运动员在区域内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时
的取值范围.
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【题目】将函数y=sin(x+ )的图象上各点的横坐标压缩为原来的
倍(纵坐标不变),所得函数在下面哪个区间单调递增( )
A.(﹣ ,
)
B.(﹣ ,
)
C.(﹣ ,
)
D.(﹣ ,
)
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