Question

某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）²万件．但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．若该企业所生产的产品全部销售．
（1）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

Answer 1

【答案】分析：（1）利润函数L（x）=一件产品的利润×一年的产量-污染治理费用，代入整理即可；
（2）对利润函数求导，得L′（x），令L′（x）=0，解得x的值，由a的取值讨论L（x）在定义域上的增减性，从而得L（x）的最大值，即年利润最大．
解答：解：（1）依题意，利润函数L（x）=一件产品的利润×一年的产量-污染治理费用，
代入数据得：
利润函数L（x）=（x-3）（11-x）²-a（11-x）²=（x-3-a）（11-x）²，x∈[7，10]．
（2）对利润函数求导，得L′（x）=（11-x）²-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x）（17+2a-3x）；
由L′（x）=0，得x=11（舍去）或x=；
因为1≤a≤3，所以≤≤；
所以，①当≤≤7，即1≤a≤2时，L′（x）在[7，10]上恒为负，则L（x）在[7，10]上为减函数，
所以[L（x）]max=L（7）=16（4-a）
②当7＜≤，即2＜a≤3时，L′（x）在（7，）上为正，L（x）是增函数；L′（x）在（，10]上为负，L（x）是减函数，所以[L（x）]max=L（）=（8-a）³．
即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4-a）万元．
当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为（8-a）³万元．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，也考查了用导数法求三次函数在其定义域上的最值问题，含有参数的不等式解集问题等，属于较难的题目．