Question

【题目】如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．

（1）求证：FG∥平面EBO；

（2）求证：PA⊥BE．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连AF交BE于Q，连QO．由线段长度间的关系证明FG∥QO，进而证得FG∥平面EBO．

（2）先证明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，从而证得PA⊥平面EBO，即可证出结论.

（1）连AF交BE于Q，连QO．因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以＝2．又Q是△PAB的重心．于是＝2＝，所以FG∥QO．

因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．

（2）由AB＝BC，得△ACB为等腰三角形，因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO平面ABC，所以BO⊥面PAC．

因为PA平面PAC，故 BO⊥PA．在△PAC内，O，E为所在边的中点，故 OE∥PC，

且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB平面EBO，所以PA⊥BE.