【题目】已知函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)当时,试判断函数的零点个数,并说明理由.
【答案】(1) 见解析(2) 只有一个零点
【解析】
(1)求导,对a分类比较与3的大小,求得及的解集,即可求得g(x)的单调区间;
(2)由(1)可知,的单增区间为和,单减区间为
得到f(x)的极大值为f(1) <0,,极小值为f(3)<0,又, 得到在上只有一个零点.从而得到函数f(x)只有一个零点.
(1)
当 即,,
所以的单增区间为和,单减区间为,
当 即 ,或,
所以的单增区间为和,单减区间为,
当 ,,所以的单增区间为(0,).
综上所述:当0<a<时,所以的单增区间为和,单减区间为,
当 ,的单增区间为,
当时,所以的单增区间为和,单减区间为
(2)当时,,,所以由(1)可知,的单增区间为和,单减区间为
所以f(x)的极大值为f(1)=-1<0,,极小值为f(3)<0,
当时, 所以在上只有一个零点.
综上,只有一个零点.
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【题目】已知为等差数列,为等比数列,公比为q(q≠1).令A=.A={1,2},
(1)当,求数列的通项公式;
(2)设,q>0,试比较与(n≥3)的大小?并证明你的结论.
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【题目】[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程;
(2)若与有且仅有三个公共点,求的方程.
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【题目】任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为素数作出判断.算法:第一步:判断n是否等于2.若______,则_______;若______,则执行第二步;第二步:依次从_______是不是n的因数,若有_________,则n不是_________数;若_______,则n____________.
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【题目】王明、李东、张红三位同学在第一、第二学期消费的部分文具的数量如表所示:
姓名 | 第一学期 | 第二学期 | ||||||
笔记本 | 练习本 | 水笔 | 铅笔 | 笔记本 | 练习本 | 水笔 | 铅笔 | |
王明 | 3 | 5 | 2 | 4 | 4 | 6 | 3 | 3 |
李东 | 2 | 6 | 3 | 3 | 4 | 8 | 5 | 2 |
张红 | 4 | 7 | 4 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
若笔记本的单价为每本5元;练习本每本2元;水笔每支3元;铅笔每支1元.求三位学生在这些文具上各自花费的金额.
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【题目】如图,有一种游戏画板,要求参与者用六种颜色给画板涂色,这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色,金色1、金色2是两种不同的颜色,要求红色不在两端,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻,则不同的涂色方案有( )
A.120种B.240种C.144种D.288种
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【题目】我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献,广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动,活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查,其中关于4项子活动的赞同情况统计如下:
班级代码 | A | B | C | D | E | 合计 |
4项子活动全部赞同的人数 | 3 | 4 | 8 | 3 | 2 | 20 |
4项子活动不全部赞同的人数 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 5 |
合计问卷调查人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 | 25 |
现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研,每项子活动采访1名学生.
(1)若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访,求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率;
(2)若从A班和E班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象,记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
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