精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知f(x)=
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
g(x)=
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1

(1)分别求f(x)、g(x)的定义域,并求f(x)•g(x)的值;(2)求f(x)的最小值并说明理由;
(3)若a=
x2+x+1
 , b=t
x
 , c=x+1
,是否存在满足下列条件的正数t,使得对于任意的正
数x,a、b、c都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)f(x)、g(x)的定义域均为(0,+∞);…(2分)
   f(x)•g(x)=( 
x
+
1
x
 )2-( x+
1
x
+1 )=1
.…(4分)
(2)∵
x
+
1
x
≥2
,∴
x
+
1
x
 )2≥4?x+
1
x
≥2
.…(7分)
易知函数y=
x
+
1
x
y=
x+
1
x
+1
在(-∞,1]上均为减函数,在[1,+∞)上均为增函数,
f(x)min=f(1)=2+
3
.…(10分)
(3)∵a=
x2+x+1
<x+1=c
,…(11分)
∴若能构成三角形,只需
x2+x+1
+t
x
>x+1
x2+x+1
+(x+1)>t
x
?
t>
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1
t<
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
恒成立.…(13分)
由(1)知,f(x)•g(x)=1?g(x)=
1
f(x)

f(x)≥2+
3
,∴g(x)=
1
f(x)
≤2-
3
,即t>2-
3
.…(15分)
由(2)知,f(x)≥2+
3
,∴t<2+
3
.…(17分)
综上,存在t∈( 2-
3
 , 2+
3
 )
,满足题设条件.…(18分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=
x+1,x∈[-1,0)
x2+1,x∈[0,1]
,则下列函数的图象错误的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性;
(Ⅲ)若数学公式,设g(x)是函数f(x)在区间[0,+∞)上的导函数,问是否存在实数a,满足a>1并且使g(x)在区间数学公式上的值域为数学公式,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年高三数学第一轮基础知识训练(20)(解析版) 题型:解答题

已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性;
(Ⅲ)若,设g(x)是函数f(x)在区间[0,+∞)上的导函数,问是否存在实数a,满足a>1并且使g(x)在区间上的值域为,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:模拟题 题型:解答题

已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:福建省高考真题 题型:解答题

已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。

查看答案和解析>>

同步练习册答案