Question

【题目】设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若对x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|=|x+1|﹣2|x﹣2|≥1，

x≥2时，x+1﹣2x+4≥1，解得：x≤4，

﹣1＜x＜2时，x+1+2x﹣4≥1，解得：x≥ ，

x≤﹣1时，﹣x﹣1+2x﹣4≥1，无解，

故不等式的解集是[ ，4]；

（2）解：若对x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，

即若对x∈R，都有|x+1|+|x﹣2|＞m，

而|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|=3，

故m＜3．

【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（2）根据绝对值的性质求出f（x）+3|x﹣2|的最小值，从而求出m的范围即可．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．