Question

（1）选修4-2矩阵与变换：
已知矩阵M=

.

2 a 2 1

.

，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．
①求实数a的值；
②求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
（2）选修4-4参数方程与极坐标：
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

x= 2 2 t+m y= 2 2 t

（t是参数）．若l与C相交于AB两点，且AB=

14

．
①求圆的普通方程，并求出圆心与半径；
②求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）①根据点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0），利用矩阵与平面列向量的乘法，即可确定a的值；
②求出矩阵M的特征多项式，得矩阵M的特征值，进而可得特征向量；
（2）①曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x²+y²-4x=0，即可求得结论；
②化直线l的参数方程为普通方程，求出圆心到直线l的距离，利用弦长建立方程，即可得到结论．

解答：解：（1）①∵点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．
∴

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4，∴a=3．（3分）
②由①知M=

2 3 2 1

，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=|

λ-2 -3 -2 λ-1

|=λ²-3λ-4（5分）
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．（6分）
当λ=-1时，∵

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

，∴x+y=0
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为

1 -1

；  （8分）
当λ=4时，∵

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

，∴2x-3y=0
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为

3 2

． （10分）
（2）①曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x²+y²-4x=0，圆心坐标为（2，0），半径R=2．
②直线l的普通方程为y=x-m，则圆心到直线l的距离d=

4-( 14 2 )2

=

2

2

所以

|2-0-m|

2

=

2

2

，可得|m-2|=1，解得m=1或m=3．

点评：本题考查选修知识，考查矩阵与变换，考查学生分析解决问题的能力，把握方法是关键．