Question

【题目】对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：

①f（x）在[m，n]内是单调函数；

②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数不存在“和谐区间”．

（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间上单调递增,且值域也为满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.

试题解析：（1）y=x2在区间[0，1]上单调递增．

又f（0）=0，f（1）=1，

值域为[0，1]，

区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．

（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．

故函数在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程的同号的相异实数根．

x2﹣3x+5=0无实数根，

函数不存在“和谐区间”．

（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．

x≠0，

故函数在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程，即的同号的相异实数根．

，

m，n同号，只须，即a＞1或a＜﹣3时，

已知函数有“和谐区间”[m，n]，

当a=3时，n﹣m取最大值