Question

10．设F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上的且位于第一象限的点，以F₁M为直径的圆：x²+y²-y-2=0经过焦点F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线F₁M与椭圆C交于另一点N，求向量$\overrightarrow{N{F}_{2}}$在向量$\overrightarrow{NM}$上的投影．

Answer 1

分析 （1）由x²+y²-y-2=0，令y=0，解得x．以F₁M为直径的圆：x²+y²-y-2=0经过焦点F₂．可得$c=\sqrt{2}$，MF₂⊥x轴，可得M，由x²+y²-y-2=0，配方为${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$．可得半径r．因此|MF₁|=2r．再利用椭圆的定义及其a²=b²+c²，即可得出．
（2）由（1）可得：M$（\sqrt{2}，1）$，F₂$（\sqrt{2}，0）$．直线F₁M的方程为：$x-2\sqrt{2}y$+$\sqrt{2}$=0．与椭圆方程联立可得N，利用向量$\overrightarrow{N{F}_{2}}$在向量$\overrightarrow{NM}$上的投影=$\frac{\overrightarrow{N{F}_{2}}•\overrightarrow{NM}}{|\overrightarrow{NM}|}$即可得出．

解答 解：（1）由x²+y²-y-2=0，令y=0，解得x=±$\sqrt{2}$．
以F₁M为直径的圆：x²+y²-y-2=0经过焦点F₂．∴$c=\sqrt{2}$，MF₂⊥x轴，可得M$（\sqrt{2}，\frac{{b}^{2}}{a}）$，
由x²+y²-y-2=0，配方为${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$．可得半径r=$\frac{3}{2}$．∴|MF₁|=2r=3．
∴3+$\frac{{b}^{2}}{a}$=2a，a²=b²+c²，及c=$\sqrt{2}$
联立解得：a=2，b²=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由（1）可得：M$（\sqrt{2}，1）$，F₂$（\sqrt{2}，0）$．
直线F₁M的方程为：$y-0=\frac{1-0}{\sqrt{2}-（-\sqrt{2}）}$$（x+\sqrt{2}）$，化为：$x-2\sqrt{2}y$+$\sqrt{2}$=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2\sqrt{2}y+\sqrt{2}=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：5y²-4y-1=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{5}}\\{x=\frac{7}{5}\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴N$（\frac{7}{5}\sqrt{2}，-\frac{1}{5}）$．
∴$\overrightarrow{N{F}_{2}}$=$（-\frac{2}{5}\sqrt{2}，\frac{1}{5}）$，$\overrightarrow{NM}$=$（-\frac{2}{5}\sqrt{2}，\frac{6}{5}）$．
∴向量$\overrightarrow{N{F}_{2}}$在向量$\overrightarrow{NM}$上的投影=$\frac{\overrightarrow{N{F}_{2}}•\overrightarrow{NM}}{|\overrightarrow{NM}|}$=$\frac{\frac{4×2}{25}+\frac{6}{25}}{\sqrt{\frac{8}{25}+\frac{36}{25}}}$=$\frac{7\sqrt{11}}{55}$．

点评 本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的数量积运算性质、向量的投影，考查了推理能力与计算能力，属于难题．