Question

5．定义在R上的函数y=f（x）满足对任意的x，y∈R．都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＜0；不等式f（sin²θ）+f（2mcosθ-2m-2）＜0在θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 判断函数f（x）为奇函数，x∈R时，f（x）为单调递增函数，根据已知条件，等价转化成不等式sin²θ+2mcosθ-2m-2＜0在θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，然后，换元，设函数g（t）=t²-2mt+2m+1，对其对称轴进行讨论．

解答 解：对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则f（0）=2f（0），即有f（0）=0；
函数的定义域为R，关于原点对称，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，即有f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由于当x＞0时，恒有f（x）＞0，则f（x₂-x₁）＞0，即有f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故x∈R时，f（x）为单调递增函数．
不等式f（sin²θ）+f（2mcosθ-2m-2）＜0在θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得不等式sin²θ+2mcosθ-2m-2＜0在θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
即1-cos²θ+2mcosθ-2m-2＜0在θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
得cos²θ-2mcosθ+2m+1＞0在θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立
由θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，则0≤cosθ≤$\frac{1}{2}$
设t=cosθ，则0≤t≤$\frac{1}{2}$，
设g（t）=t²-2mt+2m+1，0≤t≤$\frac{1}{2}$，关于t=m对称．
（1）当m≤0时，g（t）在t∈[0，$\frac{1}{2}$]上为增函数，
则g（t）_min=g（0）=2m+1＞0，
得m＞-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$＜m≤0；
（2）当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，g（t）_min=g（m）=-m²+2m+1＞0，
得1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$，
所以0＜m＜$\frac{1}{2}$；
（3）当m≥$\frac{1}{2}$时，g（t）在t∈[0，$\frac{1}{2}$]上为减函数，
则g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=m+$\frac{5}{4}$＞0，得m＞-$\frac{5}{4}$，
所以m≥$\frac{1}{2}$．
综上，m＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查了三角公式、同角三角函数基本关系式中的平方关系、二次函数等知识的综合运用，属于中档题，重点考查了分类讨论思想在解题中应用，解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于难题．