Question

8．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n=b₁+2b₂+…+2^n-1b_n（n∈N^*），求证：T_n＜$\frac{1}{6}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）解法一：由${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1），即可得出．
解法二：由${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，转化为${a_n}-{2^n}={a_{n-1}}-{2^{n-1}}$（n≥2），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
解法三：由${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，可得$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}+\frac{1}{2}$，$\frac{a_n}{2^n}-1=\frac{1}{2}（\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}-1）（{n≥2}）$．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）由${2^{n-1}}{b_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{{（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}$=$\frac{{（{{2^{n+1}}+1}）-（{{2^n}+1}）}}{{2（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）$（n∈N^*），利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解法一：∵${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，
∴当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）=$3+2+{2^2}+…+{2^{n-2}}+{2^{n-1}}=2+\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}+1$．
检验知当n=1时，结论也成立，故${a_n}={2^n}+1$（n∈N^*）．…（5分）${S_n}=（2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}）+n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n={2^{n+1}}+n-2$（n∈N^*）．…（7分）
解法二：∵${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，∴${a_n}-{2^n}={a_{n-1}}-{2^{n-1}}$（n≥2），…（3分）
∴数列{a_n-2}是首项为a₁-2=1，公差为0的等差数列，
∴${a_n}-{2^n}=1$，${a_n}={2^n}+1$（n∈N^*）．　      …（5分）${S_n}=（2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}）+n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n={2^{n+1}}+n-2$（n∈N^*）．…（7分）
解法三：∵${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，∴$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}+\frac{1}{2}$，$\frac{a_n}{2^n}-1=\frac{1}{2}（\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}-1）（{n≥2}）$．   …（3分）
∵$\frac{a_1}{2^1}-1=\frac{1}{2}≠0$，∴数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}-1}\right\}$是首项与公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴$\frac{a_n}{2^n}-1={（\frac{1}{2}）^n}，{a_n}={2^n}+1$（n∈N^*）．　　       …（5分）
${S_n}=（2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}）+n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n={2^{n+1}}+n-2$（n∈N^*）．…（7分）
（2）证明：∵${2^{n-1}}{b_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{{（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}$
=$\frac{{（{{2^{n+1}}+1}）-（{{2^n}+1}）}}{{2（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）$（n∈N^*）．…（11分）
∴${T_n}={b_1}+2{b_2}+…+{2^{n-1}}{b_n}$
=$\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{1+2}-\frac{1}{{1+{2^2}}}}）+（{\frac{1}{{1+{2^2}}}-\frac{1}{{1+{2^3}}}}）+…+（{\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）}]$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{1+2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）＜\frac{1}{2}•\frac{1}{1+2}=\frac{1}{6}$．     …14分

点评 本题考查了“裂项求和”与“累加求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．