Question

20．如图，在六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁∥平面A₁B₁BA，DD₁∥平面B₁BCC₁．
（1）证明：DD₁∥BB₁；
（2）已知六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，且BB₁⊥平面ABCD，∠BAD=60°，M，N分别为棱A₁B₁，B₁C₁的中点，求四面体D-MNB的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的性质可证DD₁∥AA₁，DD₁∥CC₁，于是可得AA₁∥平面BCC₁B₁，再利用线面平行的性质得出AA₁∥BB₁，从而由平行公理可得出DD₁∥BB₁；
（2）连接AC，BD交点为O，取OB的中点E，设D₁B₁交MN于F，连接EF，则可证DB⊥平面MNE，于是V_D-MNB=V_D-MNE+V_B-MNE=$\frac{1}{3}$S_△MNE•DE+$\frac{1}{3}$S_△MNE•BE=$\frac{1}{3}$S_△MNE•DB．

解答 证明：（1）∵DD₁∥平面A₁B₁BA，DD₁?平面DD₁A₁A，平面DD₁A₁A∩平面A₁B₁BA=AA₁，
∴DD₁∥AA₁．
同理可得DD₁∥CC₁，
∴AA₁∥CC₁，又AA₁?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴AA₁∥平面BCC₁B₁，
又AA₁?平面ABB₁A₁，平面ABB₁A₁∩平面BCC₁B₁=BB₁，
∴AA₁∥BB₁，
又DD₁∥AA₁．
∴DD₁∥BB₁．
（2）连接AC，BD交点为O，取OB的中点E，设D₁B₁交MN于F，连接EF，
∵M，N分别是棱A₁B₁，B₁C₁的中点，
∴B₁F$\stackrel{∥}{=}$BE，
∴BB₁∥EF，又BB₁⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥D₁B₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁是菱形，∴D₁B₁⊥A₁C₁，
∴D₁B₁⊥平面MNE，∴DB⊥平面MNE．
∵六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，BB₁⊥平面ABCD，∠BAD=60°，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，EF=2，BD=2，
∴V_D-MNB=V_D-MNE+V_B-MNE=$\frac{1}{3}$S_△MNE•DE+$\frac{1}{3}$S_△MNE•BE=$\frac{1}{3}$S_△MNE•DB=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×2$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．