【答案】
分析:(1)由AC边上的BH所在的直线方程为y=0,即为x轴,根据两直线垂直时满足的关系,得到AC所在直线应为y轴,即x=0,与中线CD所在的直线方程联立组成方程组,求出方程组的解集得到C的坐标,由B在x轴上,设出B的坐标为(b,0),利用中点坐标公式表示出AB的中点坐标,代入中线CD所在直线的方程,求出b的值,确定出B的坐标;
(2)根据垂径定理得到弦AB的垂直平分线过圆心M,根据AB的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出弦AB垂直平分线的斜率,再由AB中点坐标,写出弦AB垂直平分线的方程,又圆M与直线x-y+3=0相切,由切点P以及求出的斜率写出此直线的方程,与弦AB垂直平分线的方程联立组成方程组,求出方程组的解可得出圆心M的坐标,再由A和M的坐标,利用两点间的距离公式求出|AM|的长,即为圆M的半径,由圆心和半径写出圆M的标准方程,化简后即可得到圆M的方程.
(3)设出直线方程利用直线与圆的方程联立方程组,通过判别式与韦达定理,利用DE为直径的圆经过原点.得到x
1x
2+y
1y
2=0,求出k的值,然后求出直线方程.
解答:解:(1)∵AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,即为x轴,
∴直线AC的方程为y轴,即为直线x=0,又直线CD:2x-2y-1=0,
联立得:
解得:
∴C(0,-
),
设B(b,0),又A(0,1),
∴AB的中点D(
,
),
把D坐标代入方程2x-2y-1=0得:b-1-1=0,解得:b=2,
∴B(2,0);(4分)
(2)由A(0,1),B(2,0)可得:
线段AB中点坐标为(1,
),k
AB=-
,
∴弦AB垂直平分线的斜率为2,
则圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,①
又圆M与x-y+3=0相切,切点为(-3,0),且x-y+3=0的斜率为1,
∴圆心所在直线方程的斜率为-1,
则圆心所在直线为y-0=-x+3),即y+x+3=0,②
联立①②,
解得:
,∴M(
,
),(6分)
∴半径|MA|=
=
,所以所求圆方程为(x+
)
2+(y+
)
2=
,
即x
2+y
2+x+5y-6=0. (8分)
(3)假设存在直线l,不妨设所求直线l方程为y=x+k,D(x
1,y
1),E(x
2,y
2)
联立方程
得:2x
2+(2k+6)x+k
2+5k-6=0…(9分)
又△=(2k+6)
2-8(k
2+5k-6)>0得-7<k<3…(10分)
,x
1+x
2=-(k+3),
…(11分)
依题意得 x
1x
2+y
1y
2=0…(12分)
故k
2+2k-6=0解得:
…(13分)
经验证,满足题意.
故所求直线方程为:
或
…(14分)
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:线段中点坐标公式,两直线垂直时斜率满足的关系,直线的点斜式方程,切线的性质,垂径定理,以及圆的标准方程,是一道综合性较强的常考题.