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8.已知函数f(x)=3x3-ax2+x-5在区间[1,2]上单调递增,则a的取值范围是a≤5.

分析 函数f(x)=3x3-ax2+x-5在区间[1,2]上单调递增,即f′(x)=9x2-2ax+1≥0在区间[1,2]上恒成立,即a≤$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$在区间[1,2]上恒成立,构造函数g(x)=$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$,利用导数法求出其最小值,可得答案.

解答 解:∵函数f(x)=3x3-ax2+x-5在区间[1,2]上单调递增,
∴f′(x)=9x2-2ax+1≥0在区间[1,2]上恒成立,
即a≤$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$在区间[1,2]上恒成立,
令g(x)=$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$,则g′(x)=$\frac{9{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$,
当x∈[1,2]时,g′(x)>0恒成立,
故当x=1时,g(x)取最小值5,
故a≤5,
故答案为:a≤5.

点评 本题考查的知识点是函数的单调性与导数的关系,恒成立问题,难度中档.

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